决策树算法是一个比较简单的树模型算法,使用熵的概念构建一颗可以做决策的树,比较有意思

决策树是一个贪心算法，在特征空间内进行递归的二分分割。决策树由节点和边组成，内部节点是一个特征，叶子节点表示一个分类。
实际上决策树表示的是在给定特征空间中，类别的一个条件概率。

决策树的3个步骤

1.特征选择

2.决策树生成

3.决策树剪枝

假定训练集$D=\{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})...(x_{n}, y_{n})\}$ 其中$x_{i}=(x^{1},x^{2}, x^{3}, x^{4})$ 为输入实例，n为特征个数，$y \in [1,2,3,..,K]$为类标签。
构建决策树的损失目标函数通常是正则化的极大似然函数。

熵

提到决策树就不得不说到熵的概念，对于离散变量X的概率分布表示为
$$P(X=x) = p_i$$

那么随机变量X的熵表示为：
$$H(X)=-\sum p_i \log{p_i}$$
并且定义$0\log{0}=0$

当随机变量X只取两个值时，X的分布为：
$$P(X=1)=p$$
$$P(X=0)=1-p$$
此时的熵为：
$$H(p)=-p\log{p}-(1-p)\log{(1-p)}$$

从上面的公式能够看出：

p=1或是p=0的时候，熵最小，也就是不确定性最小

当p=0.5的时候不确定性最大。

上图表示就是熵的分布。

对于数据D，我们用H(Y)来刻画数据D的不确定程度，当数据D中所有的样本都数据同一类别的时候，则H(Y)=0,那么H(Y)=H(D).给定特征A和训练集D，定义信息增益为g(D, A)=H(D)-H(D|A).

信息增益就是刻画样本由D特征转移A特征的不确定性的减少程度。

ID3树

ID3树的生成过程如下

输入：训练集D、特征集A、特征信息增益阈值$\alpha$

1. 若是训练集合均属于统一分类，则T为单点树，且分类就是样本D的类别。
2. 如果A是空集合，则T是空树
3. 否则计算$g(D,A_i)$,其中$A_i \in A$,选择信息增益最大的特征$A_g$
4. 判断$A_g$的信息增益，如果g(D, $A_g$)<$\alpha$，则T为单点树，如果g(D, $A_g$)>$\alpha$，则对$A_g$=$a_i$将D划分为若干个子集$D_i$,且将$D_i$数量最大的作为节点的标记。
5. 对第i个子节点，以$D_i$为训练集，以A-{$A_g$}为特征集合，递归的执行前面的步骤。

CS4.5

CS4.5的树的构建方法和ID3的构建方法几乎相同，唯一的不同就是使用信息增益比来作为关键衡量。
CS4.5的优点如下：

1. 使用信息增益率来选择属性，克服信息增益选择属性时候偏向选取值多的不足。

2. 树构建的过程中进行剪枝

3. 能够完成离散属性离散化的操作。

4. 对不完整数据进行处理。

CS4.5仅仅适合数据量在内存级别的计算。

剪枝

不管是cs4.5还是ID3都是数的生成算法而已，但是需要对现实预测更加准确，更需要其他的策略辅助。和大部分数据挖掘算法一样，决策树算法也存在过拟合的问题，而决策树算法解决过拟合的为就是剪枝。决策数剪枝的目的就是提高算法的泛华能力

剪枝流程

假设我们有树T,且T的叶子节点个数为$T_f$,为树的叶子节点，且每个节点有$N_t$个样本点，其中属于$c_k$类样本点有$N_tk$,则有$\sum N_tk=N_t$

令H(t)为叶子节点上t上的经验熵，$\alpha$>0为参数，则决策树T的损失函数定义为：

$$C(T)=-\sum \frac{N_tk}{N_t}\log\frac{N_tk}{N_t}$$

令

$$C(T)=\sum N_tH(t)=-\sum\sum\frac{N_tk}{N_t}\log\frac{N_tk}{N_t}$$
则$C(T)^{'}=C(T)+\alpha|T_f|$,其中$\alpha|T_f|$为正则项，C(T)

1. C(T)=0就意味着$N_tk=N_t$,即每个节点都是纯的。
2. 决策树划分的越细致，则叶子节点T就越多，$T_f$就越大
3. 参数$\alpha$是控制模型误差和模型复杂度的一个参数。$\alpha$越大就是选择简单的模型，$\alpha=0$只是考虑训练数据与模型的拟合程度，不考虑复杂度。

算法描述

1. 计算每个叶子节点的经验熵¹
2. 递归的从叶子节点向上回退
3. 递归执行以上步骤。

CART树

假设有K个分类，样本点属于第k个分类的概率为$p_k=P(Y=c_k)$,定义概率分布的基尼指数为：

$$Gini(p)=\sum p_k(1-p_k)=1-\sum p_k^2$$

对于样本集合D,属于类别$c_{k}$样本子集$C_k$,则基尼指数为：
$$Gini(D)=1-\sum|\frac{C_k}{D}|^{2}$$

给定特征A，根据是否取某一个值a,样本集合被分为两个集合D₁和D₂，其中定义基尼指数Gini(D, A):

$$Gini(D, A)=\frac{D_1}{D}Gini(D_1) + \frac{D_2}{D}Gini(D_2)$$

以上就表示在特征A的条件下，集合D的基尼指数。

对于简单的二项式分布而言，基尼指数和熵的效果一样，也是度量事件的不确定性。

算法描述

1. 对于样本中每个特征A，以及它的每个可能值a, 计算Gini(D, A)
2. 选取最优的特征和切分点²。
3. 递归的切分数据集

CART树的停止条件：

1. 样本中节点小于指定值
2. 样本中基尼指数小于指定值
3. 没有更多特征

CART 连续值和缺失值

连续值处理

假设给定数据集合D和连续特征A，按照从小到大排序，选取M-1个分割点。依次是
$\frac{a_1+a_2}{2}$,然后按照离散的方式处理。

缺失数据

这个各种学习方式比较头疼的地方。下面来看看缺失值得处理方式。

给定训练集D和特征A，令$\tilde D$表示D中的特征中没有缺失的样本子集。假定特征A中有M个可能值$a_1, a_2,...a_m$,令$\tilde D^{i}$表示$\tilde D$中特征A上取值$a_i$的样本子集，$\tilde D_k$表示$\tilde D$中属于第k类的样本子集，则有：
$$\tilde D=\bigcup \tilde{D_{k}}=\bigcup \tilde D^i$$

假设我们为每个$\vec{x}$设定一个权重$w_{\vec{x}}$,则
$$\begin{gathered}\rho=\frac{\sum_{\vec{x} \in \tilde{D}} w_{\vec{x}}}{\sum_{\vec{x} \in D} w_{\vec{x}}} \\ \tilde{\rho_{k}}=\frac{\sum_{\vec{x} \in \tilde{D_{k}}} w_{\vec{x}}}{\sum_{\vec{x} \in \tilde{D}} w_{\vec{x}}} \\ \tilde{r_{i}}=\frac{\sum_{\vec{x} \in \tilde{D_{i}}} w_{\vec{x}}}{\sum_{\vec{x} \in \tilde{D}} w_{\vec{x}}}\end{gathered}$$
其物理意义为：

$\rho$:无缺失值占总体的比例

$\tilde \rho_{k}$:无缺失值样本中，第k类所占比例

$\tilde r_{i}$:无缺失样本中，在特征A上取值$a_i$样本所占比例。

于是我们可以将信息熵的公式修正为：

$$ g(D,A)= \rho * g(\tilde{D}, A)=\rho * [H(\tilde{D})-\sum_{i=1}^{M} \tilde{r_{i}}H(\tilde{D^{i}})] $$

其中$H(\tilde D^{i})=\sum \tilde \rho_k \log{\tilde \rho_k}$

从而通过划分特征A，让它以不同的概率分散到不同的节点中。

决策树总结

读到这里我们需要明白一个问题,对于决策树算法来说,他是一个分段线性划分,归根结底是具有一定的非线性问题的解决能力的,但是如果特征向量纬度过高会造成纬度灾难（特别是高维度稀疏）.所以在决策树算法中,特征选择是非常重要的.
这里还有一个小知识点，树模型适合处理线性问题吗？其实很好理解，树模型这种在空间内画段的算法，不太适合解决线性问题的。典型的问题就如下问题。