运筹规划(零)-运筹优化基础
运筹学是一本规划数学，是数学建模的基础课程之一，本文将介绍一些和运筹学相关的知识。
如果解决一个问题
- 定义问题和收集数据
- 数学建模
- 模型求解
- 校验模型
- 上线
十分简单没有任何反直觉的步骤，我们尽量通过一些经典的运筹学问题来讲解这门科学。
原形范例
有一家工厂有三个厂房，厂房1制作铝框架和硬件，木制框架给厂房2生产，厂房3负责玻璃产品和组装。最近发现市场上有几个比较大的产品新产品。
- 铝框架8英寸玻璃门
- 具有双悬木制框架
很明显，产品需要厂房1和3，而产品需要厂房2和3，那么问题来了如何让收益最大化呢。
收集问题
- 每周每个厂房能为生产新的产品的小时数
- 每个厂房生产一批新产品的小时数
- 每生产一批新产品的盈利
先来看以下这个表格，根据收集的数据
| 工厂 | 每批产品1生产时间 | 每批产品2生产时间 | 每周可用小时数 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 0 | 4 |
| 2 | 0 | 2 | 12 |
| 3 | 3 | 2 | 18 |
| 每批利润 | 3000 | 5000 |
首先我们来定义这个问题是一个生产组合问题，是一个线性规划问题，然后我们根据步骤建立数学模型。
我们来定义如下变量,x1=每周生产产品1的批次x1=每周生产产品1的批次，x2=每周生产产品2的批次x2=每周生产产品2的批次，Z=每周生产产品的总利润(千美元)Z=每周生产产品的总利润(千美元)
很容易写出计算公式。
Z=3x1+5x2(1.1)Z=3x1+5x2(1.1)
我们需要求x1,x2x1,x2,让Z最大，Z就是我们经常提到的目标函数。我们根据实际情况将一些情况受限制条件列出来。
x1<=4(1.2)x1<=4(1.2)
2x2<=12(1.3)2x2<=12(1.3)
3x_1+2x_2<=18 \tag{1.4}
x1>0,x2>0(1.5)x1>0,x2>0(1.5)
我们来看看上面这个表达式的约束，对照表格十分好理解是不是，接下来我们就是要解这个模型，从而获得符合条件的目标函数。
图解法
opsearch_0.jpg
我们将所有受到限制的条件都画到一个坐标系中，如上图。我们很容易的构建了一个可行域。通过这个可行域我们来看我们的目标函数。
opsearch_1.jpg
我们的问题就是在可行域内找到一个能让Z最大的取值。这个时候你是不是有个疑问，你画的线怎么都是平行的，这是为啥，我明明有无数种画法，好我们来解决这个问题。我们来看公式1.1与下面的公式不是等价
x2=−35x1+15Z(1.6)x2=−35x1+15Z(1.6)
很明显我们的‘‘\frac{3}{5}‘‘就是这个表达式的斜率，并且是一个定值，也就是上图画的。我们使用这个斜率平行滑动，在可行域的边界找到了这个最大值。好了一不小心给解啦。
总结
通过上面这个例子我们来给出线性规划的一般形式
max Z=c1x1+c2x2+..+cnxnmax Z=c1x1+c2x2+..+cnxn
st. aixi<b1...st. aixi<b1...
等等，这样的表达就是线性规划的标准形式，接下来我们会将更多关于线性模型的知识。
