咱们先来说下TSP问题的背景， 背景讲的是一个游客和几个景点的故事， 一个游客想用最小的代价游历完所有的景点，一个是方案怎么选择，一个是最小代价是什么？这就引出了TSP问题，这个问题在现实中的使用场景也比较多，例如典型的外卖配送场景，外卖员需要配送完所有的订单，最小的代价是什么？如何选择配送的顺序？结下来我们就来讲讲解决这个问题的常用做法。首先明确一点，TSP问题是一个NP难问题，大规模的精确求解是不太可能的。下面就是枚举了常见的做法。
Greed求解TSP问题
贪心算法算法十分简单，我们这里简单介绍思路即可。
Greed核心思路
从起点开始找到最近的点，然后走这条路径，更新访问后的集合，记住新的距离，依次类推后持续的持续通过这个方式选点并更新距离和路径集合。
DP求解TSP问题
import sys
def tsp_dynamic_programming(dist_matrix):
n = len(dist_matrix)
all_sets = 2 ** n # 总共的子集数
# dp[i][j]表示从起点出发经过子集j中所有城市，并以城市i结束的最短路径长度
dp = [[float('inf')] * all_sets for _ in range(n)]
# 初始化起点到每个城市的距离
for i in range(n):
dp[i][1 << i] = dist_matrix[i][0]
for subset in range(1, all_sets):
for end in range(1, n):
if (subset >> end) & 1: # 如果当前子集中包含城市end，可达
for prev_end in range(n):
if (subset >> prev_end) & 1 and prev_end != end:
# 通过dp状态转移更新最短路径
dp[end][subset] = min(dp[end][subset],
dp[prev_end][subset ^ (1 << end)] + dist_matrix[end][prev_end])
# 找到起点到所有城市的最短路径
result = float('inf')
for end in range(1, n):
result = min(result, dp[end][all_sets - 1] + dist_matrix[0][end])
return result
if __name__ == "__main__":
# 示例距离矩阵，假设有4个城市，起点为0，城市之间的距离表示为二维矩阵
# 注意：对于无法直接到达的城市对之间的距离，可以设为一个很大的数或者inf表示不可达。
distance_matrix = [
[0, 10, 15, 20],
[10, 0, 35, 25],
[15, 35, 0, 30],
[20, 25, 30, 0]
]
shortest_path_length = tsp_dynamic_programming(distance_matrix)
print("最短路径长度为:", shortest_path_length)
这里是实现看起来有一点复杂，其实就是用位的方式标记经过城市的范围。
dp[i][j]表示从i出发，经过j的二进制表达的城市集合，最小的距离是多少。
dp[3][10],其中10的二进制表示为‘1010’，表示从3城市出发经过0城市和2城市的最短距离是多少。很明显是35，首先从3城市出发去0城市20，从0城市出发去2城市15，最好就是15+20=35.
运筹求解TSP问题
当然TSP问题也可以使用运筹的方式解决。使用如下的方式建模。
n：城市的数量，假设有n个城市，编号为1到n。
d[i][j]：表示城市i到城市j之间的距离或成本（距离矩阵或成本矩阵）。
x[i][j]：二进制变量，表示是否从城市i直接到城市j（1表示经过，0表示不经过）。
minimizeΣi=1nΣj=1nd[i][j]∗x[i][j]s.t.Σj=1nx[i][j]=1,Σi=1nx[i][j]=1,x[i][j]+x[j][i]≤1,x[i][i]=0
约束的含义依次是
- 每个城市只能被访问一次
- 每个城市只能离开一次
- 子集约束
- 排除回路
其他启发算法
因为TSP是一个NP难问题，所以当规模较大的求解的时候就需要一些启发算法，下面的算法是一个选择。
贪心算法（Greedy Algorithm）
贪心算法是一种简单而直观的启发式算法。它从一个起点城市开始，然后每次选择最近的未访问过的城市作为下一个访问城市，直到所有城市都被访问过，最后回到起点城市形成闭环。这种方法容易实现，但不保证得到最优解，因为它只考虑了局部最优选择。
最近邻居算法（Nearest Neighbor Algorithm）
最近邻居算法类似于贪心算法，但它每次选择最近的未访问过的城市作为下一个访问城市，并使用两种策略：最近邻居法和最远邻居法。最近邻居法选择与当前城市距离最近的未访问城市，而最远邻居法选择与当前城市距离最远的未访问城市。虽然最近邻居算法相对简单，但通常可以得到较好的近似解。
模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）
模拟退火算法受到金属退火的物理过程启发。它以一定概率接受比当前解更差的解，并随着时间逐渐减小接受较差解的概率，从而逐步接近最优解。模拟退火算法可以避免陷入局部最优解，是一种全局优化方法，但需要合理设置参数和退火策略。
遗传算法（Genetic Algorithm）
遗传算法模拟了生物进化的过程，通过基因交叉和变异操作来搜索解空间。它通过选择和交叉优秀的解，以及引入一定的随机性，逐代优化解的质量。遗传算法适用于大规模问题，但需要适当的参数设置和操作策略。
粒子群优化算法（Particle Swarm Optimization, PSO）
PSO是受到鸟群觅食行为启发的优化算法，每个“粒子”代表一个可能的解，通过个体最优和群体最优来引导搜索过程。粒子根据自身经验和群体经验来更新自己的位置，并逐步优化解。PSO算法可以在全局和局部搜索之间取得平衡，是一种高效的优化方法。