本节继续讲解存储论，不过咱们要加深一下难度，大家知道这个时候不是所有的事情就是100%发生的，一定是已一个概率的形式存在的， 那么本节就要讲的核心内容就是当概率遇上运筹规划，将会有什么有意思的求解方法吗？

需求为离散随机变量的存储问题

问题原型：假设报童每天售出报纸量r是一个离散的随机变量，其概率为Pr®,报童售出一份报纸赚k元，如果报纸没有售出，赔h元，问报童最好准备多少份报纸？

供过于求

这种情况下r<Q,此时的期望损失为

$$\sum_{r=1}^{Q}h(Q-r)P(r)$$

供不应求

这种情况下r>Q,此时因缺货而少赚钱的期望损失为

$$\sum_{r=Q+1}^{\infty} h(r-Q)P(r)$$

综合上面两种情况，订购量Q总的期望损失为

$$C(Q)=\sum_{r=1}^{Q}h(Q-r)P(r) +\sum_{r=Q+1}^{\infty} h(r-Q)P(r) \tag{1.1}$$

这个时候要使得C(Q)最小，期望损失应该满足如下的约束

$$C(Q) \leq C(Q+!) \\ C(Q) \leq C(Q-1) \tag{1.2}$$

将1.1带入公式1.2中，获得如下的表达

$$(k+h) \sum_{r=0}^{Q} P(r)-k \geq 0 \\ (k+h) \sum_{r=0}^{Q-1} P(r)-k \leq 0 \tag{1.3}$$

从而报童准备的最佳数量Q满足如下的表达式

$$\sum_{r=0}^{Q-1} P(r) <\frac{k}{k+h} < \sum_{r=0}^{Q-1} P(r)$$

这就是这个问题的解。

一个例子

某件商品的进价40元，售价73元，商品过期后售价20元并一定可以出售，该商品的销售量r服从泊松分布。$P(r)=\frac{e^{-\lambda}-\lambda^{r}}{r!}$, 平均销售量$\lambda=6$，求得该商店应采购多少件商品
利润为k=73-40=33，滞销后的损失为h=40-20=20，那么按照上面的推导就有

$$\frac{k}{k+h}=0.623$$

令$F(Q)=\sum_{r=1}^{Q}P(r)=\sum_{r=1}^{Q} \frac{e^{-\lambda}-\lambda^{r}}{r!}$,其中$\lambda=6$，获得泊松分布的累积概率值, $F(6)=0.6023<0.623<F(7)$, 所以应该采购7件商品，期望损失达到最小。

需求为连续随机变量的存储模型

设货物单位进价为k，售价为0，存储费用$C_{1}$，获取的需求r为连续随机变量，其密度函数为f®, 分布函数为$F(x)=\int_{0}^{x} f(r)dr$,问货物的订购量Q为什么值的时候，能使期望盈利达到最大。

假设订购量为Q，实际的销量min(r,Q),所以盈利的W(Q)如下的含义

$$W(Q)=销售收入-进货成本-存储费用 \\ =p min(r,Q)-kQ-C_{1}(Q) \tag{2.1}$$

其中

$$C_{1}Q=C_{1}(Q-r), if r \leq Q \\ C_{1}Q=0, if r>Q$$

从而盈利的完整表达式如下

$$E(W(Q))=[\int_{0}^{Q} pr f(r)dr+\int_{Q}^{\infty}pQf(r)dr]-kQ-\int_{o}^{Q} C_{1}(Q-r) f(r) dr \\ =pE(r)-[\int_{Q}^{\infty} p(r-Q) f(r)dr+\int_{0}^{Q} C_{1}(Q-r)f(r)dr+kQ] \tag{2.2}$$

结果中第一项是平均盈利，与Q无关，中括号第一项为缺货损失期望，只考虑失去销售机会而未实现的收入，第二项表示滞销的损失期望，只考虑了存储费用，第三项为进货成本。

$$E(C(Q))=\int_{Q}^{\infty} p(r-Q)f(r)dr+\int_{0}^{Q}C_{1}(Q-r)f(r)dr+kQ$$

E(C(Q))表示含有进货成本的期望损失，那么$E(W(Q))+E(C(Q))=pE(r)=c常数$，所以max E(W(Q))等价于minE(C(Q)),再次求导

$$\frac{dE(C(Q))}{dQ}=0$$

可以得到

$$-p\int_{Q}^{\infty} f(r) dr+C_{1} \int_{0}^{Q} f(r)dr+k=0 \\ F(Q)=\int_{0}^{Q} f(r)dr \tag{2.3}$$

最终变成如下的形式

$$-p[1-F(Q)]+C_{1}F(Q)+k=0 \\ F(Q)=\frac{p-k}{C_{1}+p} \tag{2.4}$$

能够求出Q的值，也就是E(C(Q))的驻点，计算E(C(Q))的二阶导是大于0的，判断是极小值点。如果p-k<0，F(Q)是不成立的，这个时候Q取值为0，就是售价低于成本价时候无需订货，如果缺货，需付出费用$C_{2}>p$,此时的期望损失为

$$E(C(Q))=C_{2} \int_{Q}^{\infty}(r-Q) f(r)dr+C_{1} \int_{0}^{Q}(Q-r) f(r)dr+kQ \tag{2.5}$$

此时也能通过求导的方式获得Q的最佳值。

$$F(Q)=\frac{C_{2}-k}{C_{1}+C_{2}}$$

一个例子

工厂生产产品，成本价是220元/吨， 售价为320元/吨， 每月存储费用10元，月销售服从高斯分布，问每个月的生产多少吨，可使得获利期望值最大。
对号入座
P=320，k=220，C1=10， $r \sim N (60, 30)$.

$$F(Q)=\frac{p-k}{C_{1}+p}=0.3030$$

其中$F(Q)=\int_{0}^{\frac{Q-60}{3}}\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{\frac{r^{2}}{2}}dr$,通过正态分布表查询，满足如下的表示$\frac{Q-60}{3}=-0.515$，Q等于58.455，可以获得最大的期望值。