今天我们来介绍运筹优化中的一类问题,存储论问题。在日常生活中通常需要最合理、最经济的存储问题。例如水库蓄水问题等,接下来就来介绍一个存储论包括的相关概念。
- 需求
- 补充
- 费用(存储费,订货费,生产费,缺货费)
- 存储策略
其中存储策略包括几种方式。
- t-循环策略, 每个固定的时间t,补充一个固定的存储量Q
- (t,S)存储策略,每隔一个固定的时间补充一次,补充的数量不固定,看实际存储量确定,如果实际存储量为L,那么补充数量就是Q=S-L。S是最大存储量
- (s,S)策略,每经过t时间检查存储量L,当L>S的时候不进行补货,否则补充Q=S-L,s称为订购点。
- (t,s,S)策略,每经过时间t检查存储量L,当L>S不进行补货,当l<S补充存储L,让其达到S。
模型一,备货时间很短,不允许缺货
模型假设
- 当存储降低为0的时候,可以瞬间补充,备货时间为0
- 需求是连续均匀的,设需求的速度C为常数R2
- 每次订货量不变,订货费不变,订货费C3
- 单位时间内单位存储费不变,存储费为C1
- 不允许缺货,单位缺货费C2且无穷大
- 采用t-循环策略,间隔为t,每次补充量Q
构建模型
t时间内的平均存储量为
t1∫0tR2TdT=21R2t(1.1)
平均的存储费为21C1R2t
假设货物的单价是P,订购费为C3+PQ=C3+PR2t,从而t时间内平均订购费为tC3+PR2,。平均总费用为
C(t)=21C1R2t+tC3+PR2(1.2)
求最佳的时间t,需求要求导
dtdC(t)=021C1R2−t2C3=0(1.3)
最后求的t=C1R22C3,最佳的补货量为Q=R2t=C12C3R2。此时最小的平均总费用为
C=C(t)=2C1C3R2+PR2(1.4)
可以发现货物的单价P和最佳的补货量Q无关,为了计算方面,可以不考虑PR2,那么C就用如下的表达式
C=C(t)=2C1C3R2(1.5)
生产需要一定的时间,不允许缺口
这个模型除了生产需要一定的时间,其余上文的条件相同。设生产批量为Q,所需要的时间为T,生产速度为R1=TQ, 需求速度为R2,R2<R1,此时生产的产品满足需求后剩余部分作为存储,如下图所示。

在[0,T]内,存储量以R1−R2的速度增加,[T,t]区间内,存储以R2速度减少,从上图能看出来
(R1−R2)T=R2(t−T)(2.1)
从而R1T=R2t,所以
T=R1R2t(2.2)
t时间内平均的存储量为21(R1−R2)T, t时间内的存储费用为21C1(R1−R2)T,设C3为t时间内所需要的转配费,那么单位时间的总费用为
C(t)=t1[21C1(R1−R2)Tt+C3]=tC3+2R11C1(R1−R2)R2t(2.3)
这个似乎引入导数dtdC(t)=0,求得
t=C1R2(R1−R2)2C3R1(2.4)
t就是最佳的周期,最佳的产量为
Q=R2t=C1(R1−R2)2C3R1R2(2.5)
最小平均费用为
C(t)=2C3C1R2R1R1−R2(2.6)
最佳生产时间为
T=R1R2t=R1C1(R1−R2)2C3R2(2.7)
可以对比模型一,当R_{1} 趋近与无穷的时候,两个公式是相等的。进入存储的最高数量为
S=Q−R2T=C1(R1−R2)2C3R1R2−R2C1R1(R1−R2)2C3R2=C1R12C3R2(R1−R2)(2.8)
模型三,备货时间很短,允许缺货
允许缺货表明企业在存储量降低为0的情况下,还可以等一段时间订货,且缺货的损失很小,允许缺货是对企业有利的。

假设最初的存储量为S,可以满足t1的时间需求,那么
S=R2t1(3.1)
在(t-t1)的时间范围内,平均的缺货量为21R2(t−t1),则在t时间内的存储费用为
C121St1=21C1R2S2(3.2)
在t时间内的缺货费为
C221R2(t−t1)(t−t1)=21C2R2(R2t−S)2(3.3)
所以备货时间很短和允许缺货的条件下,t时间内的平均总费用为
C(t,S)=t1[C12R2S2+C22R2(R2t−S)2+C3](3.4)
分别求偏导数∂S∂C=0,∂t∂C=0,求得
t=C1R2C22C3(C1+C2)(3.5)
最优的存储为
S=C1(C2+C1)2C2C2R2(3.6)
最小费用为
C(t,S)=C2+C12C1C2C3R2(3.7)
模型四,生产需要时间,允许缺口

设[0,t]为一个周期,t1为开始生产的时刻,B表示最大的缺货量,[t1,t2]时间内除了满足需求外,补充[0,t1]的缺货。[t2,t3]时间内R1−R2的速度增加存储,S表示存货量,在t3时刻停止生产并达到最大值,然后在[t3,t]时间内存储量的需求速度R2减少,实际上
B=R2t1=(R2−R1)(t2−t1)t1=R1R1−R2t2(4.1)
最大的存储量为
S=(R1−R2)(t3−t2)=R2(t−t3)t3=R1R2t+(1−R1R2)t2(4.2)
进而求得
t3−t2=R1R2(t−t2)(4.3)
在[0,t]的时间内费用包括
存储费
C1S(t−t2)=21C1(R1−R2)(t3−t2)(t−t2)=21C1(R1−R2)R1R2(t−t2)2(4.4)
缺货费
C221Bt2=C221R2t1t2=21C2R2R1R1−R2t22(4.5)
装配费
C(t,t2)=t1[21C1(R1−R2)R1R2(t−t2)2+21C2R2R1R1−R2t22+C3]=21R1(R1−R2)R2[C1t−2C1t2+(C1+C2)tt22]+tC3(4.6)
分别求导∂t∂C=0,∂t2∂C=0。
t=C1R2C2(R1−R2)2C3R1(C1+C2)t2=C1+C2C1t(4.7)
订货量Q为
Q=R2t=C1C2(R1−R2)2C3R1R2(C1+C2)(4.8)
最大存储量为
S=R2(t−t3)=R2(t−R1R2t−R2R1−R2t2)=R2(t−R1R2t−R1R1−R2C2+C1C1t)=C1R1(C1+C2)2C3R2C2(R1−R2)(4.9)
最大缺货量为
B=R2t1=R1R2(R1−R2)t2=R1R2(R1−R2)C1+C2C1t=sqrt(C1+C2)C2R12C1C3R2(R1−R2)(4.10)
最小平均费用为
C(t,t2)=R1(C1+C2)2C1C2C3R2(R1−R2)(4.11)
模型五,价格有折扣的存储问题
一般而言当货物购买量大的情况下,价格是存在折扣的,订货量为Q,对应的货物单价为P(Q), 其中Q是一个集合,其中Qi表示价格折扣点, Pi表示当前的价格。
类似模型一,存储周期的平均费用为
C(t)=21C1R2t+tC3+R2P(Q)(5.1)
其中Q=R2t, C(t)是一个分段的函数,最小费用点为t=\sqrt{\frac{2C_{3}}{C_{1}R_{2}}}}, 但是考虑货物的总价C(t)是也一个逐段下降的趋势,最佳的订货量Q按照下列步骤进行确定。
第一步, Q=R2t=C12C3R2, 平均费用为C=2C1C3R2+R2Pj, 其中P代表当前段内的价格。
第二步,计算C(i)=21C1R2R2Qi+QiC3R2+R2Pi=21CiQi+QiR2C3+R2Pi
第三步, 如果min[C,C(j),...,,C(n)]=C∗, 那么这个C对应的批量就是最小费用订购的批量Q,订阅周期为t=R2Q