运筹规划(十二)--存储论

今天我们来介绍运筹优化中的一类问题,存储论问题。在日常生活中通常需要最合理、最经济的存储问题。例如水库蓄水问题等,接下来就来介绍一个存储论包括的相关概念。

  1. 需求
  2. 补充
  3. 费用(存储费,订货费,生产费,缺货费)
  4. 存储策略

其中存储策略包括几种方式。

  • t-循环策略, 每个固定的时间t,补充一个固定的存储量Q
  • (t,S)存储策略,每隔一个固定的时间补充一次,补充的数量不固定,看实际存储量确定,如果实际存储量为L,那么补充数量就是Q=S-L。S是最大存储量
  • (s,S)策略,每经过t时间检查存储量L,当L>S的时候不进行补货,否则补充Q=S-L,s称为订购点。
  • (t,s,S)策略,每经过时间t检查存储量L,当L>S不进行补货,当l<S补充存储L,让其达到S。

模型一,备货时间很短,不允许缺货

模型假设

  1. 当存储降低为0的时候,可以瞬间补充,备货时间为0
  2. 需求是连续均匀的,设需求的速度C为常数R2R_{2}
  3. 每次订货量不变,订货费不变,订货费C3C_{3}
  4. 单位时间内单位存储费不变,存储费为C1C_{1}
  5. 不允许缺货,单位缺货费C2C_{2}且无穷大
  6. 采用t-循环策略,间隔为t,每次补充量Q

构建模型

t时间内的平均存储量为

1t0tR2TdT=12R2t(1.1)\frac{1}{t} \int_{0}^{t}R_{2}TdT=\frac{1}{2}R_{2}t \tag{1.1}

平均的存储费为12C1R2t\frac{1}{2}C_{1}R_{2}t
假设货物的单价是P,订购费为C3+PQ=C3+PR2tC_{3}+PQ=C_{3}+PR_{2}t,从而t时间内平均订购费为C3t+PR2\frac{C_{3}}{t}+PR_{2},。平均总费用为

C(t)=12C1R2t+C3t+PR2(1.2)C(t)=\frac{1}{2}C_{1}R_{2}t+\frac{C_{3}}{t}+PR_{2} \tag{1.2}

求最佳的时间t,需求要求导

dC(t)dt=012C1R2C3t2=0(1.3)\frac{dC(t)}{dt}=0\\ \frac{1}{2}C_{1}R_{2}-\frac{C_{3}}{t^{2}}=0 \tag{1.3}

最后求的t=2C3C1R2t=\sqrt{\frac{2C_{3}}{C_{1}R_{2}}},最佳的补货量为Q=R2t=2C3R2C1Q=R_{2}t=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}}{C_{1}}}。此时最小的平均总费用为

C=C(t)=2C1C3R2+PR2(1.4)C=C(t)=\sqrt{2C_{1}C_{3}R_{2}}+PR_{2}\tag{1.4}

可以发现货物的单价P和最佳的补货量Q无关,为了计算方面,可以不考虑PR2PR_{2},那么C就用如下的表达式

C=C(t)=2C1C3R2(1.5)C=C(t)=\sqrt{2C_{1}C_{3}R_{2}}\tag{1.5}

生产需要一定的时间,不允许缺口

这个模型除了生产需要一定的时间,其余上文的条件相同。设生产批量为Q,所需要的时间为T,生产速度为R1=QTR_{1}=\frac{Q}{T}, 需求速度为R2R2<R1R_{2}, R_{2}<R_{1},此时生产的产品满足需求后剩余部分作为存储,如下图所示。
image-存储状态图
在[0,T]内,存储量以R1R2R_{1}-R_{2}的速度增加,[T,t]区间内,存储以R2R_{2}速度减少,从上图能看出来

(R1R2)T=R2(tT)(2.1)(R_{1}-R_{2})T=R_{2}(t-T) \tag{2.1}

从而R1T=R2tR_{1}T=R_{2}t,所以

T=R2tR1(2.2)T=\frac{R_{2}t}{R_{1}} \tag{2.2}

t时间内平均的存储量为12(R1R2)T\frac{1}{2}(R_{1}-R_{2})T, t时间内的存储费用为12C1(R1R2)T\frac{1}{2} C_{1}(R_{1}-R_{2})T,设C3C_{3}为t时间内所需要的转配费,那么单位时间的总费用为

C(t)=1t[12C1(R1R2)Tt+C3]=C3t+12R1C1(R1R2)R2t(2.3)C(t)=\frac{1}{t}[\frac{1}{2} C_{1}(R_{1}-R_{2})Tt+C_{3}]\\ =\frac{C_{3}}{t}+\frac{1}{2R_{1}} C_{1}(R_{1}-R_{2})R_{2}t \tag{2.3}

这个似乎引入导数dC(t)dt=0\frac{dC(t)}{dt}=0,求得

t=2C3R1C1R2(R1R2)(2.4)t=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{1}}{C_{1}R_{2}(R_{1}-R_{2})}} \tag{2.4}

t就是最佳的周期,最佳的产量为

Q=R2t=2C3R1R2C1(R1R2)(2.5)Q=R_{2}t\\ =\sqrt{\frac{2C_{3}R_{1}R_{2}}{C_{1}(R_{1}-R_{2})}} \tag{2.5}

最小平均费用为

C(t)=2C3C1R2R1R2R1(2.6)C(t)=\sqrt{2C_{3}C_{1}R_{2}\frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1}}} \tag{2.6}

最佳生产时间为

T=R2tR1=2C3R2R1C1(R1R2)(2.7)T=\frac{R_{2}t}{R_{1}}=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}}{R_{1}C_{1}(R_{1}-R_{2})}} \tag{2.7}

可以对比模型一,当R_{1} 趋近与无穷的时候,两个公式是相等的。进入存储的最高数量为

S=QR2T=2C3R1R2C1(R1R2)R22C3R2C1R1(R1R2)=2C3R2(R1R2)C1R1(2.8)S=Q-R_{2}T=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{1}R_{2}}{C_{1}(R_{1}-R_{2})}}-R_{2}\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}}{C_{1}R_{1}(R_{1}-R_{2})}} \\ =\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}(R_{1}-R_{2})}{C_{1}R_{1}}} \tag{2.8}

模型三,备货时间很短,允许缺货

允许缺货表明企业在存储量降低为0的情况下,还可以等一段时间订货,且缺货的损失很小,允许缺货是对企业有利的。
image-存储状态图
假设最初的存储量为S,可以满足t1的时间需求,那么

S=R2t1(3.1)S=R_{2}t_{1} \tag{3.1}

在(t-t1)的时间范围内,平均的缺货量为12R2(tt1)\frac{1}{2}R_{2}(t-t_{1}),则在t时间内的存储费用为

C112St1=12C1S2R2(3.2)C_{1}\frac{1}{2}St_{1}=\frac{1}{2} C_{1} \frac{S^{2}}{R_{2}} \tag{3.2}

在t时间内的缺货费为

C212R2(tt1)(tt1)=12C2(R2tS)2R2(3.3)C_{2}\frac{1}{2} R_{2}(t-t_{1})(t-t_{1})=\frac{1}{2} C_{2}\frac{(R_{2}t-S)^{2}}{R_{2}} \tag{3.3}

所以备货时间很短和允许缺货的条件下,t时间内的平均总费用为

C(t,S)=1t[C1S22R2+C2(R2tS)22R2+C3](3.4)C(t,S)=\frac{1}{t}[C_{1}\frac{S^{2}}{2R_{2}}+C_{2}\frac{(R_{2}t-S)^{2}}{2R_{2}}+C_{3}] \tag{3.4}

分别求偏导数CS=0,Ct=0\frac{\partial C}{\partial S}=0, \frac{\partial C}{\partial t}=0,求得

t=2C3(C1+C2)C1R2C2(3.5)t=\sqrt{\frac{2C_{3}(C_{1}+C_{2})}{C_{1}R_{2}C_{2}}} \tag{3.5}

最优的存储为

S=2C2C2R2C1(C2+C1)(3.6)S=\sqrt{\frac{2C_{2}C_{2}R_{2}}{C_{1}(C_{2}+C_{1})}} \tag{3.6}

最小费用为

C(t,S)=2C1C2C3R2C2+C1(3.7)C(t,S)=\sqrt{\frac{2C_{1}C_{2}C_{3}R_{2}}{C_{2}+C_{1}}} \tag{3.7}

模型四,生产需要时间,允许缺口

image-存储状态
设[0,t]为一个周期,t1为开始生产的时刻,B表示最大的缺货量,[t1,t2]时间内除了满足需求外,补充[0,t1]的缺货。[t2,t3]时间内R1R2R_{1}-R_{2}的速度增加存储,S表示存货量,在t3时刻停止生产并达到最大值,然后在[t3,t]时间内存储量的需求速度R2R_{2}减少,实际上

B=R2t1=(R2R1)(t2t1)t1=R1R2R1t2(4.1)B=R_{2}t_{1}=(R_{2}-R_{1})(t_{2}-t_{1})\\ t_{1}=\frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1}}t_{2} \tag{4.1}

最大的存储量为

S=(R1R2)(t3t2)=R2(tt3)t3=R2R1t+(1R2R1)t2(4.2)S=(R_{1}-R_{2})(t_{3}-t_{2})=R_{2}(t-t_{3}) \\ t_{3}=\frac{R_{2}}{R_{1}}t+(1-\frac{R_{2}}{R_{1}})t_{2}\tag{4.2}

进而求得

t3t2=R2R1(tt2)(4.3)t_{3}-t_{2}=\frac{R_{2}}{R_{1}}(t-t_{2})\tag{4.3}

在[0,t]的时间内费用包括

存储费

C1S(tt2)=12C1(R1R2)(t3t2)(tt2)=12C1(R1R2)R2R1(tt2)2(4.4)C_{1}S(t-t_{2})=\frac{1}{2}C_{1}(R_{1}-R_{2})(t_{3}-t_{2})(t-t_{2})\\ =\frac{1}{2}C_{1}(R_{1}-R_{2}) \frac{R_{2}}{R_{1}}(t-t_{2})^{2} \tag{4.4}

缺货费

C212Bt2=C212R2t1t2=12C2R2R1R2R1t22(4.5)C_{2} \frac{1}{2} B t_{2}=C_{2} \frac{1}{2} R_{2} t_{1} t_{2}\\ =\frac{1}{2} C_{2}R_{2} \frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1}}t_{2}^{2} \tag{4.5}

装配费

C(t,t2)=1t[12C1(R1R2)R2R1(tt2)2+12C2R2R1R2R1t22+C3]=12(R1R2)R2R1[C1t2C1t2+(C1+C2)t22t]+C3t(4.6)C(t,t_{2})= \frac{1}{t}[ \frac{1}{2} C_{1}(R_{1}-R_{2})\frac{R_{2}}{R_{1}}(t-t_{2})^{2}+ \frac{1}{2} C_{2}R_{2} \frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1}}t_{2}^{2}+C_{3}] \\ =\frac{1}{2} \frac{(R_{1}-R_{2})R_{2}}{R_{1}}[C_{1}t-2C_{1}t_{2}+(C_{1}+C_{2})\frac{t_{2}^{2}}{t}]+\frac{C_{3}}{t} \tag{4.6}

分别求导Ct=0,Ct2=0\frac{\partial C}{\partial t}=0, \frac{\partial C}{\partial t_{2}}=0

t=2C3R1(C1+C2)C1R2C2(R1R2)t2=C1C1+C2t(4.7)t=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{1}(C_{1}+C_{2})}{C_{1}R_{2}C_{2}(R_{1}-R_{2})}} \\ t_{2}=\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}} t \tag{4.7}

订货量Q为

Q=R2t=2C3R1R2(C1+C2)C1C2(R1R2)(4.8)Q=R_{2}t=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{1}R_{2}(C_{1}+C_{2})}{C_{1}C_{2}(R_{1}-R_{2})}} \tag{4.8}

最大存储量为

S=R2(tt3)=R2(tR2R1tR1R2R2t2)=R2(tR2R1tR1R2R1C1C2+C1t)=2C3R2C2(R1R2)C1R1(C1+C2)(4.9)S=R_{2}(t-t_{3})=R_{2}(t-\frac{R_{2}}{R_{1}}t-\frac{R_{1}-R_{2}}{R_{2}}t_{2}) \\ =R_{2}(t-\frac{R_{2}}{R_{1}}t-\frac{R_{1}-R_{2}}{R_{1}}\frac{C_{1}}{C_{2}+C_{1}}t) \\ =\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}C_{2}(R_{1}-R_{2})}{C_{1}R_{1}(C_{1}+C_{2})}} \tag{4.9}

最大缺货量为

B=R2t1=R2(R1R2)R1t2=R2(R1R2)R1C1C1+C2t=sqrt2C1C3R2(R1R2)(C1+C2)C2R1(4.10)B=R_{2}t_{1}=\frac{R_{2}(R_{1}-R_{2})}{R_{1}}t_{2}\\ =\frac{R_{2}(R_{1}-R_{2})}{R_{1}}\frac{C_{1}}{C_{1}+C_{2}}t \\ =sqrt{\frac{2C_{1}C_{3}R_{2}(R_{1}-R_{2})}{(C_{1}+C_{2})C_{2}R_{1}}} \tag{4.10}

最小平均费用为

C(t,t2)=2C1C2C3R2(R1R2)R1(C1+C2)(4.11)C(t,t_{2})=\sqrt{\frac{2C_{1}C_{2}C_{3}R_{2}(R_{1}-R_{2})}{R_{1}(C_{1}+C_{2})}} \tag{4.11}

模型五,价格有折扣的存储问题

一般而言当货物购买量大的情况下,价格是存在折扣的,订货量为Q,对应的货物单价为P(Q), 其中Q是一个集合,其中QiQ_{i}表示价格折扣点, PiP_{i}表示当前的价格。
类似模型一,存储周期的平均费用为

C(t)=12C1R2t+C3t+R2P(Q)(5.1)C(t)=\frac{1}{2} C_{1}R_{2}t+\frac{C_{3}}{t}+R_{2}P(Q) \tag{5.1}

其中Q=R2tQ=R_{2}t, C(t)是一个分段的函数,最小费用点为t=\sqrt{\frac{2C_{3}}{C_{1}R_{2}}}}, 但是考虑货物的总价C(t)是也一个逐段下降的趋势,最佳的订货量Q按照下列步骤进行确定。

第一步, Q=R2t=2C3R2C1Q=R_{2}t=\sqrt{\frac{2C_{3}R_{2}}{C_{1}}}, 平均费用为C=2C1C3R2+R2PjC=\sqrt{2C_{1}C_{3}R_{2}}+R_{2}P_{j}, 其中P代表当前段内的价格。
第二步,计算C(i)=12C1R2QiR2+C3R2Qi+R2Pi=12CiQi+R2C3Qi+R2PiC^{(i)}=\frac{1}{2} C_{1}R_{2} \frac{Q_{i}}{R_{2}}+\frac{C_{3}R_{2}}{Q_{i}}+R_{2}P_{i}=\frac{1}{2}C_{i}Q_{i}+\frac{R_{2}C_{3}}{Q_{i}}+R_{2}P_{i}
第三步, 如果min[C,C(j),...,,C(n)]=Cmin[C,C^{(j)},...,,C^{(n)}]=C^{*}, 那么这个C对应的批量就是最小费用订购的批量Q,订阅周期为t=QR2t=\frac{Q}{R_{2}}

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