无约束的最优化
首先我们来看一个实际问题。
一家彩电工程研制了两种产品，一种是19寸的夜景平板电视，建议零售价为339.另一种是21存电视零售价399.公司付出的成本是19寸的195美元，21寸的是225美元，还要加上400000美元的固定成本。在竞争市场中，每年售出彩电的数量会影响彩电的平均价格。据统计，对每种类型的彩电，没多售出1台，平均售价就会下降1美分。而且19寸彩电销售会影响21寸的销售。反之也是一样。每售出一个21寸的彩电，19寸的就下降0.4美分。问题是每种彩电各生产多少台。
上面这个问题就是一个标准的多变量优化的问题，从问题中我们能够理解，至少有两个变量需要优化，就是两种彩电的台数。我们还是按照上一节的方法来解答这个问题。
变量
s=19寸彩电售出数量(year)
t=21寸彩电售出数量(year)
p=19寸彩电售出价格
q=21寸彩电售出价格
C=生产彩电的成本
R=彩电的销售收入
P=彩电的销售理论
假设
p=339-0.01s-0.003t
q=399-0.004s-0.01t
R=ps+qt
C=400000+195ts+225t
P=R-C
s>0
t>0
目标
求P的最大值
P=R−C(1.1)
公式1.1其实就是我们的目标函数。我们将1.1进行带入和展开
P=ps+qt−(400000+195s+225t)
=(339−0.01t−0.003t)s+(339−0.004s−0.01t)t−(400000+195s+225t)(1.2)
如果我们想要公式1.2最大，当然是求导，高中题目。
y=f(s,t)(1.3)
x1∂y=144−0.02s−0.007t=0
x2∂y=174−0.007s−0.02t=0
联立两个方程，我们能求出x1=4735,x2=7043
带入原方程我们就求的最后的利润。
实际问题可能比我们描述的问题要难很多，如果添加更加多的约束条件我们怎么办呢？例如我要求19寸彩电必须大于4000台等等的条件。
这个只是我们就需要看我写的 『拉格朗日乘子』讲的内容，直接搜索框搜索即可。
综述
看来我是带大家回顾简单的数学建模的过程，其实很简单，但是这我们的常用的机器学习有什么区别吗？其实这里的比较关键的点就是【目标函数】，上文中我们求的最后一个值就是一个目标函数，在机器学习中我们经常使用和标注数据的举例，所以目标函数不是简简单单我们认为的那几种，这往往是对业务场景的抽象。